control_basic

Control (Based on WPI RBE 502 course) §

0. 控制的目的 §

• High level与low level
• High level: 位置控制position control, 显式力控force control, 阻抗控制impedance control
  • Position control：以追踪位置为目的，一定要达到空间中的某一目标
  • Force control (Explicit force control)：控制接触力
  • Impedance control：将力与位置的控制综合考虑，间接力控
    • https://www.zhihu.com/question/43633361/answer/124417009
    • https://zhuanlan.zhihu.com/p/51318508
• Low level：
  • 应用电机进行驱动时，控制目标又可以分为
    • 位置控制：转到某一具体角度
    • 速度控制：以某个角速度旋转
    • 力矩控制：控制电机的出力（电流）
  • 电机控制方法： SimpleFOCDocs 【自制FOC驱动器】深入浅出讲解FOC算法与SVPWM技术 Teaching old motors new tricks
    • PWM方波控制
    • SPWM电压正弦控制
    • FOC磁定向矢量控制
      • 三个PID环：电流环 -> 速度环 -> 位置环
        • 电流（产生力矩，进而产生加速度）-> 加速度积分为速度 -> 速度积分为位置？
        • 电流环为控制电机的基础（直接产生力矩），如果需要对速度进行控制，则需要通过对扭矩的不断调节达到预期的转速 如果需要对位置进行控制，则需要不断对速度进行调整从而完成对位置的跟踪。 低速运动时跳过速度环 对位置的检测由脉冲编码器完成，对速度的检测实际是由脉冲编码器的差分（位置差分）得到？

1. Euler-Lagrange modeling §

• The Lagrangian:

  • : the total kinetic energy, e.g. , . 动能。
  • : the potential energy, e.g. , might be negative (depends on the coordinate) (have a lower limit?). 势能。
  • : constraints (not necessary， why?)

• Eular-Lagrangian equations: . Lagrange: 在初始时刻建立坐标来标记质点ref Eular: 随着质点的变化以当前状态作为参考标记质点 方程表明了两种坐标系如何转换 is the generalized force performing work on the -th coordinate. (Gravity is not a gneralized force, counted by ) 搞清这俩参照系怎么回事

• 结论： or

  • : , positive definite
  • : Coriolis force科里奥利力, . is skew-symmetric ()
  • : gravity

2. State space §

• 简化问题以便求解：把高阶系统（多次求导，如速度加速度）表示为一阶系统（加速度是速度的差分，速度是位置的差分，将多个state合并写作向量形式，state之间的关系从等式组改写成矩阵形式）；若条件适当，将非线性系统转化为线性系统（->）。期望的最终形态表示一个控制系统。 如为三阶系统。令state space form，则 即把一个三阶方程简化为了一阶方程，用矩阵表示了state space中state的内在联系（如导数组成的线性方程组）
• Matlab ODE只可求解一阶ODE，必须将高阶系统转化为一阶系统才可求解

3. ODE §

• 通过特定算法选择每次递进的步长，使得与实际的误差小于给定的阈值。从而用多条线段逼近曲线进行求解

4. System type: §

	linear	nonlinear
parameter-varying	LPV
time-varying	LTV	where are arbitrary nonlinear functions
time invariant	LTI If we have inputs () and outputs (), we still have above system, with
autonomous time invariant

5. Stability §

5.1. In general §

A general nonlinear, time varying and autonomous system for time t and state vector x. (Images are from math24)

stable type	condition
Stability, 稳定	Let be a solution to the differential equation with initial condition . A solution is stable if other solutions starting near stay close to 在附近时若收到扰动，结果还在其附近的受限范围内 ![[learning_note/1.theory/control/zz.attachment/lyapunov-stability.svg
Asymptotically stable, 渐进稳定	Stable and for is sufficiently close to , where and are two different initial states. 在附近时若收到扰动，结果会逐渐回到 ![[learning_note/1.theory/control/zz.attachment/asymptotically-stability.svg
Global asymptotically stability (G.A.S.)	在全局任意位置，都会去到
Exponential stability ( A.S.)	渐进稳定，接近速度用自然对数规定 ![[learning_note/1.theory/control/zz.attachment/exponential-stability.svg

• linear system:
  • Asymptotically stable G.A.S.
  • Exp. stable = A.S.
• Nonlinear system:
  • A.S. G.A.S.
• General
  • Exp. stable A.S.
• 稳定之间的关系 Stable Asymptotic stability Exponential stability

5.2. Stability of a linear system §

• A solution of the system , is
  ↳A solution of the system is
• ODE判断稳定性的缺点：ODE计算耗时，并且需要计算无限的长度
• 由矩阵特征值与特征向量可知，可写成
  令，则有，，一个可能解为。所以稳定性取决于的实部和0的关系。所以系统的稳定性取决于 矩阵的特征值
• 举例：二阶系统
  • 系统模型为 典型表达式（拉普拉斯变换后在s域上为），其中是natural frequency，是damping ratio，参考。(拉普拉斯域中即为，为）
  • 用的形式可以表示做。则， 解出eigen value是。
  • 由上可知矩阵A的特征值是传递函数的极点。共轭虚根无阻尼，共轭复根欠阻尼，两个相等负实根临界阻尼，两个不相等负实根过阻尼）（知乎）。

5.3. Stability of a LTI system §

The linear system is

stable type	requirement
asymptotically stable	at the equilibrium iff ,
marginally stable	at the equilibrium iff ,
unstable	iff ,

• LTI系统的Asmp. stable = Exp. stable（asyptotically, exponential）

5.4. Equilibrium §

• A special case of solution
  • An equilibrium is locally stable if the solution starting close to the equilibrium is stable.
  • An equilibirium is locally asymptotically stable if the solution starting close to the equilibrium is locally asymptotically stable (Do we need the locally here?).
  • Globally stable / asymptotically stable equilibrium: (?)

5.4.1. Direct method: solve the ODE §

和Lyaponuv direct method的区别与联系？

• LTI system:
  • For a scalar system , the solution is .
  • For a linear system , for is a matrix, the solution is

5.5. Lyapunov stability §

5.5.1. Lyapunov indirect method: §

• Linearizing the system around the original

5.5.2. Lyapunov direct method: §

• 小潘Find a Lyapunov function (candidate), satisfy:

• MITLet be a continuous map from to , then is called a locally positive definite (lpd) function around if

• RBE502 slides: stability using Lyapunov function:

  • , energy is always nonnegative. 能量不会增加
  • , lowest energy at the stable equilibrium. 稳定点能量为零
  • , the energy is non increasing. or , the energy is decreasing strictly.

• Lyapunov function的选取

  • 根据物理意义知乎

    Energy	Mechanical	Electrical
    Kinetic (active)	Mass/Inertia	Inductor
    Potential	Gravity: Spring:	Capacitor
    Dissipative	Damper/Friction	Resistor

  • 其它

  • 待整理1，2

• Lyapunov function和系统模型的关系？ E.g. 一个物理系统包含，那么可以动能+势能就是该系统的一个Lyapunov方程，动能为0势能最低即稳定。将state代入可以检验该状态是否是一个稳态。

6. 能达性和能控性 Reachability and controllability §

7. Set-point tracking 和 trajectory tracking §

• 到达一个设定值或跟踪一条路径
• set-point tracking
• Trajectory tracking desired trajectory

8. Jacobian linearization §

一个曲面上各个方向上的梯度